Rozmiar Ziemi

Pomoce:

• kij (wykorzystałem jeden kij o długości ok 50 cm, a drugi 150 cm – ale wystarczy jeden, i może być krótszy)
• kątomierz (im większy tym dokładniejszy pomiar)
• sznurek (ok. 2 m),
• nożyczki
• 2 grudki plasteliny

Odkryj rozmiar Ziemi wykonując doświadczenie Erastotenesa przeprowadzone ponad 2200 lat temu.

Erastotenes urodził się ok. 255 r.p.n.e. Na podstawie informacji wyczytanych w bibliotece Aleksandryjskiej ustalił, że 21 czewca (dziś obchodzimy pamiątkę tego dnia) w oddalonej o ponad 800 km Syene (dziś Asuan, Egipt) żadna z kolumn nie rzuca cienia. To znaczy, że promienie słoneczne w tamtym miejscu padają prostopadle (kąt 90 stopni). Przeprowadził dokładnie ten sam pomiar w swoim mieście – Aleksandrii. 21. czerwca o godzinie 12.00 sprawdził jaki powstaje cień rzucany przez kolumny w jego mieście. Sprawdził kąt padania tego cienia.

Na podstawie narzędzi pomiarowych jakie zastosował okazało się, że kąt padania cienia przy ziemi wynosi 83 stopnie. Wiedząc, że suma kątków w trójkącie wynosi 180 stopni i jeden z nich jest kątem prostym (90 stopni) obliczył, że brakujący kąt wynosi 7 stopni.

Z obliczeń tych wynika, że znając odległość między Syene i Aleksandrią założył, że Ziemia ma kształt kuli (już wtedy zaobserwowano, że statki na morzu znikają za horyzontem, a przypominam, że Aleksandria leży nad morzem Śródziemnym). Oznacza to, że na podstawie tych danych mógł ustalić jej rozmiar (obwód). Przyjął, że skoro Ziemia w przekroju ma kształt koła tzn. że liczy ona 360 stopni. W związku z tym 360 : 7 = 51,42. Tyle jest odcinków 800 kilometrowych według Erastotenesa. Teraz wystarczyło pomnożyć 51,42 x 800 km. Wychodzi 41 136 km.

Dziś wiadomo, że obwód Ziemi liczy 40 075 km. Błąd pomiarowy wynikał zapewne z rzeczywistej odległości tych dwóch miast (845 km – patrz niżej) i narzędzia pomiarowego, które powinno podawać 7,5 stopnia. W efekcie skala pomiaru powinna wynosić 47,427. A więc: 845 km x 47,427 = 40 075 km.

Zachęcam do sprawdzenia jaki kąt padania promieni słonecznych występuje w Twojej miejscowości tego dnia i o tej godzinie. Jak to zrobić:

Demonstruje pokaz wykonany w Żyrardowie 21 czerwca 2017 roku o 12.90. .

Oznacza to, że dokładnie tego dnia w miejscowości Syene oddalonej od Żyrardowa o 3277,73 km patyk prostopadle wbity w ziemię nie rzuca cienia. Inaczej jest w Żyrardowie. Cień jest dłuższy niż w Aleksandrii.

Najpierw wbij patyk w piasek tak aby stał pionowo w ziemi. Można to zrobić za pomocą pionu – sznurka z ciężarkiem, np. plasteliną). Powstały cień zaznacz dla pewności np. patyczkiem lub kamykiem.

O godzinie 12.00 zmierz kąt padania cienia tworzonego przez ten patyk (przydatna będzie ekierka i ponownie sznurek). Ekierkę za pomocą taśmy przykleiłem do drugiego kija. Następnie, za pomocą pinezki naprężyć sznurek do miejsca, w którym kończy się cień. Jeden z jego końców ustawiłem w miejscu gdzie kończył się cień dużego kija. Następnie drugi koniec małego kija skierowałem w słońce obserwując padający z niego cień. W efekcie gdy cień był najmniejszy byłem pewien, że teraz kij wskazuje Słońce. Wystarczyło odczytać pomiar kąta wskazywany przez sznurek zaczepiony do kątownika, a którego ciężarek wyznaczał pion. W praktyce – polecam aby pomiaru dokonywały dwie osoby – jedna trzyma kij i kontroluje padający cień, druga odczytuje pomiar – spogląda na sznurek i kątomierz.

Ustalony kąt (kątomierz ustawiony przy szczycie patyka w kierunku końca cienia rzucanego na ziemi) będzie liczbą zbliżoną do 28 stopni.

Dalsze obliczenia:

360 : [ustalony kąt (kątomierz ustawiony przy szczycie patyka w kierunku końca cienia rzucanego na ziemi)] = X – wychodzi liczba odcinków z jakiej składa się Ziemia. Tera trzeba ją przemnożyć przez Waszą odległość od miejscowości Syene, gdzie kąt padania promieni wynosi 90 stopni (a więc gdzie tworzy się kąt prosty trójkąta). Można to sprawdzić korzystając z miarki w Mapach Googla (prawy przycisk myszy – ostatnia opcja – „zmierz odległość”). Przypominam, że Syene dziś nazywa się Asuan (Egipt).

Wynik powinien być zbliżony do takiego: 40 075 km. To jest liczba przedstawiająca rzeczywisty rozmiar naszego globu. Ustaliliście go wbijając patyk w Ziemię i wykonują obliczenia matematyczne.

Kila uwag:

1. Trzeba zadbać aby zmierzyć kąt dokładnie o tej godzinie ponieważ 5 minut wcześniej czy później może spowodować istotną zmianę pomiaru. Bierze się to stąd, że uwzględniana jest niewielka skala, którą później będzie się odnosić do ogromnej bryły – Ziemi
2. Istnieje obawa, że nasz pomiar nie uwzględnia jeszcze krzywizny Ziemi, która między Aleksandrią i Syene nie była tak duża (odległość na powierzchni Ziemi wynosiła zaledwie 845km), natomiast pomiędzy Żyrardowem (moją rodzinną miejscowością) i Syene ta odległość jest już znacząca i wynosi 3283,85 km. Nie znalazłem zmianki o tej informacji, choć wydaje się istotna bo w pomiarach uwzględniamy linię prostą geologicznie („na ziemi”) a nie linię prostą geometrycznie („przez ziemię”). Proszę o informacje jeśli znacie odpowiedź na to pytanie: dzieciecafizyka@gmail.com.
3. Warto zwrócić uwagę, że do obliczenia wysokości kąta można przyjąć również dane szerokości geograficznych. I tak:
   • Syene (dziś: Asuan) leży na szerokości geograficznej 24^o05′ tutaj kąt padania promieni (21 czerwca o 12.00) wynosi 90 stopni;
   • Aleksandria leży na szerokości geograficznej 31^o12′ tutaj kąt padania promieni (21 czerwca o 12.00) wynosi 83 stopni;
   • Żyrardów leży na szerokości geograficznej 52^o02′
4. Teraz, jak obliczyć kąt padania promieni u nas – bez wychodzenia z domu? Drogą zależności. Skoro między Syene i Aleksandrią różnica w szerokościach geograficznych wynosi (31 – 24 = 7  jest to, jak widać, pomiar szacunkowy, nie uwzględniający minut i sekund podanych w szerokościach) to między Aleksandria a Żyrardowem odległość wynosi (52 – 34 = 21 stopni). Teraz wystarczy od 83 (od szerokości geograficznej na której leży Aleksandria) odjąć otrzymane 21 stopni i wyjdzie kąt padania promieni słonecznych 21 czerwca o godzinie 12.00, a więc 28. Podobny wynik otrzymałem obserwując miarkę. Reszta obliczeń została opisana wyżej.
5. Istnieje prosta zasada: im bardziej na północ tym:
   1. kąt padania cienia przy ziemi będzie mniejszy
   2. kąt padania cienia u szczytu kija będzie większy
   3. długość cienia będzie coraz dłuższa.